1. Cebir ve Cebir Hesabı: el-Harezmî

Muhammed İbn Mûsâ el-Harezmî (163/780-235/850), Aral gölü yakınlarındaki Harezm bölgesinde yetişmiştir. El-Harezmî, Hikmet Evi’nde halife el-Memûn’un hizmetinde çalışmıştır. Harezmî’nin bilime temel katkıları matematik, astronomi ve coğrafya alanında olmuştur. Aritmetik ve astronomide Hint yöntemlerini İslam dünyasına kazandırmıştır. Yazdığı cebir kitabıyla İslam uygarlığında bilimin gelişiminde temel bir öneme sahiptir. Coğrafyadaki başarıları ise bu alanda kendisine saygın bir yer kazandırmıştır. Harezmî’nin aritmetik ile ilgili eserinin Arapça aslı kayıptır. Bu eser Bathlı Adelard tarafından 1120 yılında Latinceye Liber Algorismi de Numero Indorum (Hint Rakamlarıyla Hesap Kitabı) adıyla çevrilmiştir. Harezmî, bu kitabında Hintliler tarafından geliştirilen ve hesaplamalar için çok kullanışlı olan on tabanlı ve konumlu sayı sitemini tanıtmıştır. Bu kitaptan sonra İslâm matematikçileri bu sistemi kullanmaya başlamışlardır. Bu sistemle yazılıp Arapça aslı günümüze gelebilen ilk kitap Ahmed el-Öklidisî’nin Bölümler Kitabı (950) adıyla yazdığı ve on tabanlı sayı sistemini kullandığı kitaptır. Avrupalılar da Adelard çevirisi sayesinde bu sistemi öğrenmiş ve kullanılan bu rakamlara Arap rakamları demeye başlamışlardır. Yine Batılı matematikçilerin el-Harezmî’den algoritma sözcüğünü türetmeleri Harezmî’nin Batı matematiği üzerindeki etkisini göstermektedir. Harezmî’nin cebir üzerine yazdığı kitap El-Kitâb el-Muhtasar fî Hisâb el-Cebr ve’l-Mukâbele ismini taşır. Bu kitap halife elMemûn’a ithaf edilmiştir. Kitabın adındaki cebr ve mukâbele ile denklemleri eşitleme ve sadeleştirme kastediliyor olmalıdır.

Esirgeyen ve bağışlayan Allah’ın adıyla başlar ve El-Kitâb el-Muhtasar fî Hisâb el-Cebr ve el-Mukâbele adlı kitabın Muhammed ibn-Musâ el Harezmî tarafından yayınlandığını beyân ederim. Muhammed der ki; önemli sayıların keşfi için güç veren Allah’a şükürler olsun. Aslında, her şeyi yansıtan aksettiren insanın hesaplama ihtiyacıdır. Ben her şeyin rakam içerdiğini keşfettim ve ben rakamın birimleri birleştirmekten başka bir şey olmadığını keşfettim. Bu nedenle birlikle bütün sayılar ifade edilir. Bununla beraber ben bütün sayıların ona kadar olan rakamların türetilmesiyle tanzîm edildiğini keşfettim. On sayısı birlikle aynı tarzda değerlendirilir ve bu sebepten dolayı birlik durumunda olduğu gibi iki katı veya üç katı aynı şekilde hesaplanır. Bundan dolayı 10’un iki katı 20, üç katı ise 30 olur. Ve bu şekilde 10 katlanarak 100’e ulaşılabilir. Yine bu şekilde tıpkı 10 gibi 100’ün iki ve üç katı da alınabilir. İki kat üç kat vb katlarla sayı bine kadar büyütülebilir. Bu yolla bin sayısının katları alınarak sayıların muhtelif adlandırılmaları yoluyla sonsuz sayının araştırması yapılır.

İlaveten, benim bulduğum sadeleştirme ve karşıya geçirme üç tür arasında oluşmaktadır. Bunlar; kökler, kareler ve rakamlar olarak isimlendirilir. Ancak, sayılar ne sadece köklerle ne de kareleri ile bağlantılıdır. Bunlardan kök bir sayının kendisi ile çarpılabilen birimlerinden oluşur. Kare ise kökün kendisi ile çarpılmasının sonucudur. Bu üç formdan ikisi bir diğerine eşit olabilir, meselâ;

Karelerin köklere eşitlenmesi, 
Karelerin sayılara eşitlenmesi,
Köklerin sayılara eşitlenmesi.

Bir bilinmeyenin karesi bir bilinmeyene eşittir. Örneğin, bir bilinmeyenin karesi bilinmeyenin beş katına eşittir; bu durumda, karenin kökü beştir ve bilinmeyenin karesi kökün beş katına eşit olan yirmi beşe eşit olur.

Bundan dolayı söylenebilir ki, bir bilinmeyenin karesinin üçte biri bilinmeyenin dört katına eşittir; bu durumda, bilinmeyenin karesinin tamamı bilinmeyenin on iki katına eşit olur, bu sayı da bir yüz ve kırk dörde eşittir ve bunun kökü on ikidir.

Veya söylenebilir ki, bir bilinmeyenin karesinin beş katı, bilinmeyenin on katına eşittir; bu durumda, bilinmeyenin karesi bilinmeyenin iki katına eşit olur; karenin kökü ikiye eşit olur ve bunun karesi dörttür.

Bu şekilde, bilinmeyenin karesi birden fazla ya da az olsun, bilinmeyenin karesi bire indirgenebilir; aynı şekilde kökler de bilinmeyenin karesindekine uygulanan oranlamalarla indirgenebilir.

Sayının karesinin bir sayıya eşit olduğu durumda; örneğin, bir bilinmeyenin karesi dokuza eşittir; bu durumda, bu bir bilinmeyenin karesidir ve kökü üçtür. Veya bir bilinmeyenin karesinin beş katı seksene eşittir; bu durumda, bilinmeyenin karesi seksenin beşte biri olan on altıya eşittir. Veya, bir bilinmeyenin karesinin yarısı on sekize eşittir; bu durumda, bilinmeyenin karesi otuz altıya eşittir ve onun kökü altıdır.

Böylelikle, bilinmeyenlerin karelerinin tamamı, çarpılarak ve alt çarpımlarla bilinmeyenin karesine indirgenir. Eğer bilinmeyenin karesinin bir parçası varsa, ona eklemeler yaparak bilinmeyenin karesi bütün haline getirilir; bunların aynıları sayılara da uygulanabilir. Bilinmeyenin sayıya eşit olduğu durumlarda; örneğin, bir bilinmeyen üç sayısına eşittir; bu durumda, bilinmeyen üçtür ve bunun karesi dokuzdur. Veya bilinmeyenin dört katı yirmiye eşittir; bu durumda, bilinmeyen beşe eşittir ve bilinmeyenin karesi yirmi beştir. Veya bir bilinmeyenin yarısı ona eşittir; bu durumda, bütün bilinmeyen yirmiye eşittir ve bunun karesi dört yüzü oluşturur.

Bulduğum ve bilinmeyen, bilinmeyenin karesi ve sayılar olarak adlandırdığım bu üç tür birbirleriyle bir araya getirilebilir ve böylece üç bileşik tür ortaya çıkar; “bir bilinmeyenin karesi ve bir bilinmeyenin bir sayıya eşit olduğu durum;” “bilinmeyenin karesi ve sayının köklere eşit olduğu durum;” “köklerin ve sayıların bilinmeyenin karesine eşit olduğu durum.”

Bilinmeyenin ve bilinmeyenlerin karesinin sayıya eşit olduğu durumlar; örneğin, “bir kare ve aynı bilinmeyenin on katı otuz dokuz dirhem kadardır;” demek ki, kendi kökünün on katı ile beraber otuz dokuz ederse bilinmeyenin karesi ne olmalıdır? Çözüm; kökteki sayıyı ikiye bölelim, bu durumda beşi verir. Bunu kendisi ile çarparsak sonuç yirmi beş olur. Bunu otuz dokuza eklersek sonuç altmış dörttür. Şimdi bunun kökü sekizdir ve bu sayıdan kökün yarısı olan beşi çıkarırsak elde kalan üçtür. Bu aranan bilinmeyen karenin köküdür ve bunun da karesi dokuzdur.

Bilinmeyenin karesi iki veya üç kat olduğunda da çözüm aynıdır; bilinmeyenin karesi bire indirgenebilir ve aynı ayarlamalarla/orantılarla bilinmeyenleri ve basit numaraları da birbirleriyle ilişkilendirerek indirgenebilir.

Örneğin, “bir bilinmeyenin karesinin iki katı ve bilinmeyenin on katı kırk sekiz dirheme eşittir;” demek ki, bilinmeyenin karesinin iki katı ne olmalıdır ki kökünün on katına eklendiği zaman toplam kırk sekiz dirhem olsun? Öncelikle bilinmeyenin karesinin iki katı bire indirgenmelidir ve bilindiği gibi bilinmeyenin bir katı iki katının yarısının alınmasıyla olur. Ondan sonra adı geçen her şey yarıya indirgenir ve bu sorunun kendisiyle aynı şeymiş gibi olacaktır, bir bilinmeyenin karesi ve aynı bilinmeyenin kökünün beş katı yirmi dört dirheme eşit olur; veya bir bilinmeyenin karesinin kökünün beş katına eklendiğinde yirmi dört dirheme eşit olması için bilinmeyenin karesi ne olmalıdır? Şimdi bilinmeyenin yarısını alalım, yarım iki buçuk olur. Onu kendisiyle çarparsak sonuç altı ve çeyrek olur. Bunu yirmi dörde ekle, sonuç otuz ve çeyrek dirhem. Bunun kökü beş buçuktur. Bundan bilinmeyenin yarısı olan iki buçuğu çıkarırsak elde kalan üçtür. Bu bilinmeyendir ve bu bilinmeyenin karesi dokuzdur.

Bilinmeyenin karesi ve sayıların bir bilinmeyene eşit olduğu durumlar; örneğin, “bir bilinmeyenin karesi ve yirmi bir sayısı bilinmeyenin on katına eşittir;” o zaman söylenebilir ki, yirmi bir dirhem ona eklendiğinde, kökünün on katına eşit oluyorsa bu bilinmeyenin karesi kaç eder? Çözüm, bilinmeyenin katsayısının yarısı alınır ve o beş eder. Kendisi ile çarpılınca sonuç yirmi beştir. Bunu bilinmeyenin karesi ile ilgili olan yirmi birden çıkar ve elde kalan dörttür. Bunun kökü ikidir. Bunu bilinmeyenin yarısı olan beşten çıkar, elde üç kalır. Bu bilinmeyen karenin köküdür ki, bilinmeyenin karesi dokuz olur. Veya denilebilir ki kökü bilinmeyenin yarısına eklersek toplam yedidir; bu bilinmeyen aranan bilinmeyendir ve bu bilinmeyenin karesi kırk dokuzdur.

Bilinmeyenler ve sayıların bilinmeyenlerin karesine eşit olduğu durumlar; örneğin, “bilinmeyenin üç katı ve dört bilinmeyenin karesine eşittir;” Çözüm: Bilinmeyenin yarısını al; bilinmeyenin yarısı bir buçuk olur. Onu kendisiyle çarparsak sonuç iki çeyrek olur. Bunu dörde eklersek toplam altı çeyrek olur. Bunun kökü iki buçuktur. Bunu bilinmeyenin yarısı olan bir buçuğa ekle toplam dörttür. Bu bilinmeyenin karesinin köküdür ve bilinmeyenin karesi on altıdır.

Ne zaman bir bilinmeyenin karesinin katı veya as-katı ile karşılaşılırsa o bir tam kareye indirgenir.

Bunlar kitabın girişinde bahsettiğim altı durumdur. Şu anda onlar açıklanmıştır. Aralarından bilinmeyenin yarısına bölünmesi gerekmeyen üç tanesini gösterdim. Bilinmeyenin yarısının alınmasının gerekli olduğu diğer üçü için ayrı bölümlerle açıklama yapmak yarıya alma sebebini göstermek için daha doğru olacaktır. Bilinmeyenin karesinin ve on katının otuz dokuz dirheme eşit olduğu durumlar.

Bu bilinmeyenin karesini veya bilmek istediğin şeye göre bilinmeyenin kökünü temsil eder. Bu bilmek istediğiniz kare ya da köktür. Aranan kare yüzeyi AB’dir ve onun her bir kenarı köküdür; eğer her bir kenarı verilmiş olan sayıyla çarparsan elde edilen miktar kökün sayısıdır. Karenin her bir kenarı bilinmeyenin karesinin kökünü ifade eder ve örnek olarak, bilinmeyenler bilinmeyenin karesi ile ilişkilendirilmişti, onun dörtte birini alabiliriz ve söylenebilir bu iki buçuktur ve bu şeklin dört kenarının her biriyle birleştirilebilir. Böylelikle orijinal AB karesi, her bir kenarının uzunluğu iki buçuk genişliğinde olan dört yeni paralelkenar birleştirilir; bu paralelkenarlar C, G, T ve K’dir. Şimdi bir kenar uzunluğu bilinmeyen eşit bir dörtgenimiz var, ancak dört köşenin her biri iki buçuğun iki buçukla çarpıldığı bir kare parçasıdır. Kareyi tamamlamak için iki buçukluk bu karelerden dört tane alalım ve yirmi beş olsun. İlk şekilden biliyoruz ki, dörtgen bilinmeyenin karesini temsil ediyor, etrafını çeviren dört paralelkenar bilinmeyenin on katını temsil ediyor, bunların toplamıysa otuz dokuzdur. Bu, AB şeklinin köşelerindeki dört eşit kareye eşit olan yirmi beşe eklenirse büyük şekil DH tamamlanır ve bu şekil beraberce altmış dört eder. Büyük karenin bir kenarı köktür ve bu sekizdir. Eğer; onun dörtte birinin iki katı olan beşi, DH büyük karesinin bir kenarının iki ucu arası olan sekizden çıkarırsak, elde kalan üç olacaktır ve bu bilinmeyenin karesinin bir köküdür veya orijinal şekil AB’nin bir kenarıdır. Fark edilmeli/ gözlemlenmelidir ki, bilinmeyenin sayısının yarısının alınması ve bu yarımın kendisiyle çarpılmasının sonucunun otuz dokuza eklenmesi dört köşeli büyük şekli tamamlamak içindir; çünkü herhangi bir sayının dörtte birinin kendisiyle çarpılması ve sonra dört ile çarpılması o sayının yarısının kendisiyle çarpılmasının sonucuna eşittir. Bu yüzden, dörtte birin kendisiyle çarpımının dört ile çarpılması yerine sadece bilinmeyenin yarısı kendisiyle çarpılır.

Kitap devamında diğer durumlardaki cebirsel denklemlerin çözümüne de ispatlar sunmuştur. Bunları da geometrinin kaidelerinden faydalanarak anlatmıştır. Devamında dört işlemin kuralları verilmiş ve sonra altı problem sunulmuştur. Bu problemlerden ilki ve çözümü şu şekilde verilmiştir:

Onu iki parçaya böldüm; iki parçadan birini diğeriyle çarptım, ondan sonra ikisinden birini kendisiyle çarptım, kendisiyle çarpımının sonucu bir parçanın diğeriyle çarpımının dört katıdır.

Çözüm: Parçalardan birinin şey olduğunu farz edelim, diğeri de şeyin ondan farkıdır. Şeyi on eksi şeyle çarparsanız bu on şey fark bir karedir. “Dört katı” olması durumundan dolayı bunu dört ile çarp. Sonuç bir parçanın diğeriyle çarpımının dört katı olacaktır. Bu kırk şeyin dört kareden farkıdır. Bundan sonra şey şey ile çarpılır, demek ki, bir parça kendisiyle çarpılır. Bundan dolayı eşitlik kırk şey eşittir beş kareyedir, bir kare sekiz köke eşittir, bu altmış dörttür; bunun kökü sekizdir. Bu iki parçadan biridir, yani kendisiyle çarpılan parçadır. Bunun ondan farkı ikidir ve bu diğer parçadır. Bundan dolayı sonuç anlatılan altı durumdan “karelerin köklere eşit olduğu” durumu gösterir.

Eserin devamında geometrik şekiller ve onlara ait kurallar verilmiştir. Bunların çoğu alan hesaplamalarına ve dik üçgen kurallarına ait yöntemlerdir.

Birinci tür: Eş kenarlı ve dik açılı veya kenarları eş olmayan ve dik açılı herhangi bir dörtgenin alanı uzunluğun genişliğe çarpımı ile bulunabilir. Sonuç alanı verir. Örneğin: bütün kenar uzunlukları beş kübit olan bir toprak parçası yirmi beş kare kübit bir alana sahiptir.

İkinci Tür: Bir dörtgen toprak parçasının iki uzun kenarının her biri sekiz kübit uzunluğunda ve kısa kenarı altı kübittir. Alan altının sekize çarpılması ile bulunur ki bu kırk sekiz kübittir. Bu da toprak parçasının alanıdır.

Üçüncü tür: Eşkenar dörtgen, kenarları birbirine eşit ve beş olan, köşegenleri altı ve sekiz kübit olan şekildir. O zaman alan bir köşegenden veya her ikisinde hesaplanabilir. İkisi de bilindiğinden, birinin diğerinin yarısıyla çarpılmasının sonucu alanı verir; demek ki sekizi üçle veya altıyı dörtle çarparsan sonuç yirmi dört kübitlik alandır. Eğer sadece bir köşegen biliniyorsa, iki kenar uzunluğu beş olan iki üçgen vardır, üçüncü kenarsa köşegendir. Bundan sonra üçgen için hazırlanan kurallara göre köşegeni hesaplayabilirsin.

Bergrenn 2003. Episodes in the Mathematics of Medieval Islam, New York, Springer.
Rosen, Frederic 1989. Al-Khwârazmî’s Algebra, Editorial Panel, Sayılı Aydın & Dosay Melek Gökdoğan & Baloch, Islamabad, N.A. Pakistan Hijra Council. 
Melek, Gökdoğan 2008. “Ortaçağ’da İki Türk matematikçisi: İbn Türk ve Hârezmî”, Ortaçağ İslâm Dünyası’nda Bilim ve Teknik, Editör: Yavuz Unat, Ankara, Lotus Yayınları, s. 126–132.
Çeviren: Vural Başaran