Günümüzde adı Pytagoras ile anılan ve dik üçgenlerin kenarları arasındaki bağıntıyı tanımlayan teorem, Pytagoras’tan önce de farklı uygarlıklar tarafından bilinmekteydi. Pytagoras’a atfedilen bu teorem kendisinden sonra da birçok âlim ve filozofun elinde işlenmiştir. Günümüzde ise bu teoremin yüzlerce ispatı var. Bunlardan Euklides’in ispatını vermek yerinde olacaktır. Zira, Sâbit İbn Kurra bu ispattan bahsetmektedir.
ABC dik üçgeninde, AB ve AC dik kenarlar üzerine kurulan BATU ve ACRS kareleri ve hipotenüs üzerine kurulan PQCB karesine bakalım. A noktasından BC hipotenüsüne K noktasında bir dikme indirilsin. Bu aynı zamanda PQ doğrusunu da dik olarak keser ve bu PQCB karesini iki dikdörtgene ayırır. UBC üçgeni ABP üçgeniyle birbirine denktir. BATU karesinin alanı UBC üçgeninin, PLKB dikdörtgenin alanı da ABP üçgeninin iki katına eşit olduğuna göre, BATU karesinin alanı PLKB dikdörtgeninin alanına eşit olmalıdır. Aynı şekilde ACRS karesinin alanının da LZCK dikdörtgeninin alanına eşit olduğu gösterilebilir. Öyleyse BATU ve ACRS karelerinin alanları toplamı PQCB alanına eşit olmalıdır. Bu da Pytagoras teoremini vermektedir. 9. yüzyılda yaşamış olan Sâbit İbn Kurra, İslam’ın altın çağında Bağdat’ta bulunmuştur. Ptolemaios sistemini düzenlemeye çalışan ilk âlimlerdendir. Geometri ve cebir konusunda önemli eserlere imza atmıştır. Bugün hala Sâbit sayıları denen sayıları Batılılara tanıtan kişi olmuştur. Sâbit İbn Kurra’nın, Pytagoras teoremini anlattığı risale, arkadaşından mektupla gelen bir soruya cevap olarak hazırlanmış gibi görünüyor. Ancak soru maksadını aşıp bu konudaki bilgiyi zenginleştiren bir niteliğe bürünmüştür. Yukarıda Euklides’in ispat şekli verilen teoremin daha genel bir çözümünü vermeye gayret göstermiştir. Sâbit İbn Kurra, üçgenlerin kenarlarına çizilen şekillerin kareden farklı olabileceğini de söyleyerek, Euklides’e göre daha genel bir teorem sunmaktadır. Sâbit İbn Kurra’nın bu eserindeki en orijinal yan, teoremin herhangi bir üçgene de uygulanabileceğini söylemesidir. Ancak bu ispatı yapmamış, bunun Euklides’teki teoremlerle kolayca yapılabileceğini söylemiştir.
Allah seni aziz kılsın; kare ve köşegeni ile ilgili Sokrates ispatını ve bu ispatta açık olarak meydana çıkan özellikleri, yani üçgenin dik olduğunu ve ikizkenar olması halinde dik açıyı meydana getiren iki kenarının kareleri toplamının diğer kenar karesine eşit olduğunu söz konusu ediyor, bundaki metodu kolayca anlaşılabilmesi bakımından övüyorsun. Gerçekten, bu metotla, buradaki dörtgenlerin eşitliği, bunların birbirlerine eşit kısımlarının bazılarının birbirlerine uydurulması suretiyle meydana çıkıyor. Ancak, Allah seni mesut etsin, özel bir hali temsil edip sadece ikizkenar üçgen için zorunlu olarak doğru olması ve bu teoremin kapsamı içerisine girmesi gereken ikizkenardan farklı dik üçgenleri içermemesi bakımından hakikaten beğenilmemesi gereken mahiyetinden dolayı bu ispatı kusurlu bulduğunu, bu ispatın seni tatmin etmediğini söylüyorsun ve bunun genel ispatını yapmışsam sana bildirmemi istiyorsun.
Ben Euklides ispat tarzından farklı olmak üzere ve zikri geçen Sokrates metoduna benzer bir yoldan, bütün dik üçgenleri kapsayan bir ispat şekli tespit etmiş bulunuyorum. Burada bu ispat tarzını takdim ediyor ve ayrıca bu görüş açısından mesele ile ilgili çeşitli teoremler sunuyorum. Bunların peşinden de, belirli bir konudaki bilgimizin dereceleri üzerinde birkaç söz ilâve etmiş bulunuyorum. Çünkü üçgen hakkında söylediklerim sözü bu konuya getirdi ve beni bu yola sevk etti. Elimizdeki üçgen meselesi de daha geniş olan bu konuya bir örnek teşkil etmiş oldu.
Şimdi bu problem yolu ile söz konusu etmek ve ele almak istediğimiz daha genel konulara geçiyorum.
Belirli bir şey üzerindeki ilmî bilgi, değişmeyen, kendi kendinin aynı kalan bir şey olmakla beraber, bu bilgi çeşitli metotlara dayanabilir ve insanların bir şey hakkındaki bilgilerinin mükemmelliği ve sağlamlığı veya bu bilginin diğer vasıfları farklı ve değişik olabilir. Çünkü bu bilgiye hâkim bir durumda ve kudretle sahip olan, onu daha yüksek ve daha genel prensiplere dayanarak bilen insanlar bulunduğu gibi, onu ikincil temellere ve daha aşağı bilgiye dayanarak kavrayanlar da mevcuttur ki, bu ikinci kategoriden olan kimseler buraya kadar anlattığım ve verdiğim ispatlarla yetinmemde ve bu teoremlerin, söz konusu edilen bakımdan, daha genel durumlara ne suretle örnek teşkil edebileceği hususuna girmememde hiçbir mahzur görmezler.
Fakat bir kimse, bu mânada, söylediklerimizden daha genel bir bilgiye erişmek isterse, böyle bir kimsenin, özel olması dolayısıyla, sözü geçen üç ispattan birincisiyle yetinip sınırlanmaması mümkün olduğu gibi, diğer iki metotla veya Euklides metodu ile de kendini sınırlamaması, kısaca, bir dik üçgenin dik kenarları karelerinin toplamının dik açı karşısındaki kenar karesine eşit olduğunu beyanla yetinmeyip daha genel olan bir bilgi basamağına yükselmesi imkân dâhilindedir.
Böyle bir durumda iki şıkla karşılaşılır. Ya Geometrinin Temelleri adlı kitabının 6’ncı makalesinde bu genellik mertebesine eriştiğinde Euklides’in yaptığı gibi, bir üçgenin dik kenarları üzerine çizilen ister kare ister kareden farklı şekillerin alanları toplamının dik açı karşısındaki kenar üzerine çizilen benzer şekil alanına, bu şekillerin kenarlar üzerindeki kuruluş durumları aynı olmak şartıyla eşit olduğunu ifade eder; yahut da, dik kenarlar üzerine çizilen kareler toplamının neye eşit olduğu meselesinde sözünü sadece dik üçgene inhisar ettirmeyip, dik olsun veya olmasın, herhangi bir üçgende kenarlardan ikisi üzerine çizilen kareler toplamının neye eşit olacağını söz konusu eder. Bu ikinci şıkta ise, bir üçgenin herhangi bir açısının iki kenarı kareleri toplamının, bir kenarı bu açı karşısındaki kenar olan bir dikdörtgen alanına eşit olacağını ortaya kor. Şöyle ki, aşağıdaki örnekte görüldüğü üzere, bu dörtgenin bir kenarı, bu kenarla oluşturdukları açılar üçgenin tepe noktasındaki açıya eşit olacak şekilde bu tepe noktasından çizilen iki doğrunun bu kenarla kesiştikleri noktalarla bu kenarın iki ucu arasında kalan doğru parçalarının toplamına eşit olur. Bunun örneği ABC üçgenidir. Bu üçgenin B tepe noktasından AC’yi kesen ve onunla ABC açısına eşit açı yapan bir veya iki doğru çizelim. Bu doğru, ya resimdeki ilk şekilde (şekil 1) olduğu üzere, BD doğrusudur ki bu takdirde bu doğru tabanla her ikisi de ABC’ye eşit olan iki açı oluşturacak şekilde kesişir ve bu durum ABC açısının dik açı olmasına tekabül eder; BD doğrusu burada AC’ye dik olur. Yahut da ikinci şekilde görüldüğü üzere (şekil 2) BA’ ve BC’ gibi iki doğru meydana gelir. Bu ikinci durumda ABC açısı dik olmayıp AA’B ve CC’B açılarına eşittir. Böyle olunca, AB ve BC kenarları karelerinin toplamı, birinci şeklin temsil ettiği durumda AC’nin AD ve DC toplamı ile çarpımından meydana gelen dikdörtgen alanına, geri kalan şekillerin temsil ettiği durumda ise AC’nin AA’ ve CC’ toplamı ile çarpımından meydana gelen dikdörtgenin alanına eşit olur.
Bunun ispatı Euklides’in Geometrini n Temelleri adlı kitabı yardımıyla kolayca yapılabilir. Birinci şekilde olduğu üzere, üçgenin ABC açısının dik olması neticesi, AD ile DC toplamının AD ve DC gibi uç uca gelen iki doğru parçasının toplamını temsil etmesi durumunda –ki bu özel hal genel duruma dâhildir ve üçgenin bir açısının dik olması şıkkına tekâbül eder– dik kenarlar karelerinin toplamı üçüncü kenar karesine eşit olur.
Söz konusu edilen bakımlardan bütün bu zikredilenlerden de daha yüksek mertebede bulunan bir genelliğe yükselmek isteyen ve bütün bu sonuçları içinde toplayarak kapsayan bir teoreme erişmek arzu eden bir kimse ise şu sonuca varır: Dik olsun veya olmasın herhangi bir üçgenin kenarlarından ikisi üzerine çizilen dörtgen veya dörtgenden farklı benzer iki şekil toplamı, yukarıda verilen örnekteki şartlara uygun olarak üçüncü kenar üzerine çizilen benzer şekle oranı aşağıdaki gibi olan herhangi bir şeklin alanına eşittir. Şöyle ki, bu üçüncü kenar karşısındaki açının tepe noktasından bu kenarla yaptıkları açılar bahsi geçen açıya eşit olan iki açı çizelim; bu doğruların bu kenarı kestikleri noktalarla bu kenar uçları arasındaki mesafeler toplamının bu üçüncü kenara oranı, istenen oranı verecektir.
Buradaki durum yukarıdaki örneğe benzediğinden, yukarıdaki örnek burada da örneğimizi teşkil eder ve şartlarımız da yukarıdaki şartların aynısıdır. Böylece AB ve BC kenarları üzerine çizilen herhangi benzer iki yüzey toplamı, AC kenarı üzerine çizilen benzer yüzeyle oranı aşağıdaki gibi olan bir şekil alanına eşittir. Şöyle ki durum birinci şekildeki gibi olduğunda, bu oran AD ile DC toplamının AC’ye oranı gibidir; fakat durum geri kalan şekillerdekinden birine uygun olunca, bu oran AA’ ve CC’ uzunluklarının toplamının AC’ye oranı gibi olur. Bütün bunlarda, kenarlar üzerine çizilen benzer şekillerin bu kenarlar üzerindeki duruşu aynı olmalıdır.
Bunun ispatına gelince, bu ispat da yine Euklides’in Geometrinin Temelleri kitabı yardımıyla kolayca verilebilir.
Burada da, ilk şekilde olduğu gibi, üçgenin ABC açısı dik olunca, AD ile DC toplamı AD ile DC’nin ucuna gelmeleri suretiyle meydana gelen doğrunun uzunluğuna eşittir. Bu suretle bu genel teorem ondan daha özel olan ve daha önce zikri geçen teoremi, yani kenarları üzerine çizilen şekillerin bu kenarlara göre vaziyeti hep aynı olmak üzere, bir dik üçgenin iki dik kenarı üzerine çizilen benzer yüzeyler toplamının üçüncü kenar üzerine çizilen ve ilk ikisinin benzeri olan yüzeye eşitliğini ifade eden teoremi içerir; ve bu teorem yolu ile, bundan da özel olan ve bir dik üçgende dik kenarlar kareleri toplamının üçüncü kenar karesine eşit olduğunu ifade eden teoremi de kapsar.
İşte bu teoremler, hep birbirlerinden genellik ve kapsama bakımından derece derece farklı birtakım teoremlerdir ki, dik üçgen hakkındaki söz konusu teorem bunların hepsinde içkindir. Zamanımızın bazı insanlarında görüldüğü gibi bilgide daha yüksek mertebelere erişemeyen, yahut da öğrencileri kabiliyet ve imkânlarına göre ilim mertebelerinde derece derece yükseltmek arzusunda bulunan kimseler, bu teoremler içerisinden en özel olanını diğerine tercih ederler ve asgari derecede genel olan ve en az kapsamlı şıkla, yani Sokrates teoremi ile yetinirler.
Tahminime göre, Sokrates’in bunu kullanmış olmasının sebebi de ancak bu konudaki muhatabının bir yeni öğrenci olmasından ileri geliyordu. Sokrates onu yavaş yavaş yetiştirmek istiyor, veya bu ispatı başka bir şey için yakın örnek olarak vermeyi, yahut da sebepleri bakımından benzer bir durumu aydınlatmayı arzu ediyordu. Çünkü öğretimde hazırlayıcı disiplinlerin nefisle ilişkisi, bazı eski düşünürlerin söylediği gibi, gıdanın bedenle ilişkisine benzer.
Gerçekten, bilgi nefsin gücünü arttırır ve onu takviye eder. Ancak, nasıl ki zayıf bir vücuda kuvvetli bir gıda bir seferde verilecek olursa, vücut bunu kaldıramaz ve bu gıda onu kuvvetlendireceğine ona zararlı bir etki yaparsa, aynı suretle, nefse de kaldıramayacağı bir şey verilince güç ve âciz bir durumda kalır. Fakat bu iş yavaş yavaş ve isabetli bir tarzda tertiplenirse, o zaman, ona hiçbir zarar gelmeksizin onun kuvveti muazzam derecede arttırılır.
Eskilerden öğretimde büyük maharet sahibi ve faydalı olmak için gayretli kimselerden Euklides ve diğerlerinin kitaplarında bu suretle hareket ettiklerini ve bu bilgileri onların kitaplarından edinmek isteyenlerin anlayış derecelerine göre yavaş yavaş bir kademeden daha yükseğine geçtiğini görüyoruz. Ben burada bir örnek vermek maksadıyla bu konuya temas ettim. Gerçekten, geometri ilminin kökenlerinden birini teşkil eden ve üçgenle ilgili olan bu konuda burada sunduğum mukayeseli örnek, ilmî bilgideki, ve aynı zamanda, bir tek konu için de olsa, ilim adamlarının bilgilerinin derecesindeki farklar hususunda, başka örneklerde de buna benzer durumları anlamamızı mümkün kılar.
Dik üçgenle ilgili olarak yukarıda bahsi geçen teoremlerin hepsi de zorunlu olarak doğru olmakla beraber, bunların hepsinin teker teker temsil ettiği bilgi aynı değildir; insanların bunlara karşılık gelen ilim dereceleri ile mertebeleri ve bu bilgilere sahip olma tarzları arasındaki fark da küçük değil büyüktür.
İnsanın bir şey hakkındaki bilgisi ancak bu iki şıkkın birleşmesi, yani bilginin gerek küllî ve umumî ve gerekse cüzî ve hususî olması halinde tam ve noksansız olur. Çünkü insan bir şeyi sadece özel ve cüzî olarak bilirse ilimde fakir durumda bulunur, bilgisi geniş ve derinlikli olmaz. Sadece umumiyi ve külliyi bilene gelince, böyle bir insanın ilimden nasibi çok da olsa, o, henüz cüzide sarih olarak elde edilmiş bilgiye sahip bir kimse sayılamaz; belirli bir şeyi derli toplu bir şekilde kavrar durumda bulunmayıp, onda cüzinin bilgisi, ancak küllinin bilgisinde içkin olması mânasında ve tevil yolu ile mevcuttur. O cüziye ancak potansiyel bir tarzda sahip olup onu aktüel olarak bilemez. Öyle ki, genel anlamda bilgisine sahip olduğu hususlarda bazen özel haller bakımından yanılır ve bazı özel şeyler gözünden kaçar. Fakat bir kimse her iki durumu nefsinde toplar ve her ikisine sahip birden olursa, o zaman o konudaki bilgisi tam olur.
Aristo, Analitikler I ve II kitaplarında bu meseleye temas etmiş ve bu hususu özet olarak anlatmış olduğundan, yukarıdaki açıklamayı onun sözleri ile mukayese etmemiz gerekir.
İbn Kurra, Sâbit. “Pitagor Teoreminin Tamimi”, çev. Aydın Sayılı, Belleten, Ankara, Türk Tarih Kurumu Basımevi, C. XXII, S. 85–88, s. 525–549.