5. Aritmetik: Katışık Denklemlerde Mantıkî Zorunluluklar: Abdülhamid İbn Türk

Abdülhamid İbn Vâsi İbn Türk 9. yüzyılda yaşamıştır. Bazı kaynaklarda kendisine Cîlî lakabı verilmiştir. Bazı kaynaklarda ise Huttalî lakabıyla anılmaktadır. İki lakabın kullanılmış olması da ihtimal dâhilindedir. İbn Türk denmAbdülhamid İbn Vâsi İbn Türk 9. yüzyılda yaşamıştır. Bazı kaynaklarda kendisine Cîlî lakabı verilmiştir. Bazı kaynaklarda ise Huttalî lakabıyla anılmaktadır. İki lakabın kullanılmış olması da ihtimal dâhilindedir. İbn Türk denmesinden dolayı milletinin Türk olduğu anlaşılmaktadır. İbn Türk ile ilgili ilk bilgilere İbn el Nedîm’in Kitab el Fihrist, İbn el Kıftî’nin Tarih el-Hukemâ’sı ve Kâtip Çelebi’nin Keşf el-Zunûn adlı eserlerde karşılaşılmaktadır. Kıftî kendisinden şu şekilde bahsetmektedir: “Abdülhamid- İbn Vâsi Abdülhamid Ebu’l Fazl. Kendisi aritmetik (hesap, hesaplama) sanatında bilgili, bu alanda öncü ve adı bu saha müntesiplerinin ağzından düşmeyen bir hesaplama uzmanıdır. Aritmetikte meşhur olan ve çok kullanılan kitaplar yazmıştır. Bunlar arasında altı kitaptan teşekkül eden Kitab el-Câmi fi’l-Hesab, Kitab Nevâdir el-Hesab ve Havâs el-A’dad vardır.” Diğer yazarlar da İbn Türk’ün hesap konusundaki becerilerini anlatmışlardır. Bununla beraber yazdığı kitabının Harezmî’den önce mi yoksa sonra mı yazdığı tartışmalı bir konudur. İkisini de iddia eden yazarların güçlü argümanları vardır. Ancak ikisinin cebri de birbirine yakın bir retorik anlayışla yazılmıştır. İki âlim de cebirsel örneklerin ispatlarını verirken geometrinin kaidelerini kullanmışlardır.

Esirgeyen ve bağışlayan Tanrının adıyla ve peygamberlerin efendisi Muhammed’e ve bütün akrabalarına kutluluk ve selâmet dilekleriyle.

Kare miktarların (yani her hangi bir katsayı kadar kare miktar) köklere (kare miktarın karekökü) eşitliği hali. Meselâ bir kare miktar üç köke eşittir dediğimiz zaman, kare miktarı, kenarları eşit dik açılı bir dörtgen yüzeyi ile temsil ederiz. Bu dörtgen ABCD olsun. Bunun kenarlarından her biri karenin köküdür. Şu halde AB doğru parçası kare miktarın köküne eşittir. Öte yandan, ABCD dörtgeni üç köke eşittir ve AB doğru parası kare miktarın köküdür. Demek ki, BD değer itibariyle üçe eşit olmaktadır. Çünkü BD kare miktarın kökü olan AB ile çarpılığında üç köke eşit olan ABCD dörtgeni elde edilmektedir. Diğer taraftan, BD doğru parçası kare miktarın köküne eşittir. Şu halde, kare miktarın kökü üçe ve kare miktarı dokuza eşittir. Şeklin biçimi de burada görüldüğü gibidir.

Bir kare miktarla kökler toplamının bir sayıya eşit olması hali. Örneğin, bir kare miktarla on kökün yirmi dörde eşit olduğunu söylediğimizde, kare miktarı eşit kenarlı ve dik açılı bir dörtgen yüzeyi ile temsil ederiz. Bu dörtgen AD olsun. Bu dörtgenin kenarlarından her biri kare miktarın köküdür. Bu satha QD ve DH dikdörtgenlerini ilave eder, bunların ikisinin de boyunu değer itibariyle beşe enlerini de AD yüzeyinin enine, yani kare miktarın köküne eşit olarak alırız. Böylece, bu dikdörtgenlerin her biri beş köke eşit olur. Şu halde AD, QD ve DH yüzeyleri, üçü birden, on kök ve bir kare miktara yani yirmi dörde eşittir. Büyük AK yüzeyinin tamamlanması için, bunlara DZ’nin DT ile çarpımının ilavesi gerekir. Bu doğru parçalarının her birinin değeri beş ve bunların teşkil ettiği dörtgenin, yani DK’nın değeri yirmi beştir. Bu yirmi beş değeri, DH ile DQ ve DA yüzeylerinden oluşan yirmi dört değerine ilâve olunmaktadır. Demek ki hep birden kırk dokuza eşittirler ki, bu da büyük AK yüzeyinin yüz ölçüsüdür. Bunun kökünü alırız. Yedi eder. Bu da büyük yüzeyin kenarlarının değeridir. AH doğru parçasına eşit olan bu yedi değerinden beşe eşit olan CH uzantısını çıkarırsak, kare miktarın kökü olan AC kalır ve değeri iki olarak çıkar. Demek ki kare miktarın kökü ikiye, miktarın kendisi de dörde eşittir. Buna on kök ilâve edilince de yirmi dört değeri elde edilir. Ve işte ilgili şekil.

Bir kare miktarla bir sayının belli bir miktarda köke eşit olması hali. Meselâ, bir kare miktarla yirmi birin on köke eşit olduğunu farz edelim. Kare miktarı eşkenar ve dik açılı bir dörtgen sathiyle temsil ederiz. Bu dörtgen yüzey AD olsun. Kenarlarından her biri kare miktarın köküne eşittir. Buna HB dikdörtgen sathını ilave eder, bu dörtgeni yirmi bire eşit kılarız. Böyle olunca, HC ve DZ doğru parçalarından her biri on’a eşit olur. Çünkü CD doğru parçası kare miktarın köküdür ve ZA ile AD alanlarının toplamı on köke eşittir. ZD doğru parçasıyla Q noktasıyla iki eşit kısma bölelim ve bu doğruya dik QT doğru parçasını gerek ZQ’ye ve gerekse QD’ye eşit olmak üzere çizelim. ZD’nin orta noktası olan Q, ya ZB doğru parçası üzerinde, yahut da BD doğru parçası üzerinde bulunacaktır. Eldeki misalde, bu orta noktası B noktasıyla çakışık olamaz. Çünkü B noktası ZD doğrusunun orta noktası olsaydı BD doğru parçası BZ’ye eşit olurdu. BD doğrusu AB ile aynı uzunlukta olduğundan, buradan da AB’nin BZ’ye eşitliği elde edilir, HB üzerine çizilen dörtgenin yüz ölçüsünün değeri de böylece yirmi beş olurdu. Halbuki bunun böyle olmadığını biliyoruz. Çünkü bu dörtgenin yüzeyini yirmi bire eşit olarak kabul ettik.

ZD doğru parçasının orta noktası olan Q noktası ZB doğru parçası üzerinde olunca, QT doğru parçası HB dörtgenini kesecektir. Çünkü QT doğru parçası QD ile aynı uzunlukta, QD ise BD’den daha uzundur. Halbuki BD doğru parçası AB’ye eşittir. Şu halde QT doğru parçası AB doğru parçasından daha uzundur.

İlkin Q’nun BZ üzerinde bulunduğunu farz edelim. QT dikmesini çıkarır ve KQ dörtgenini tamamlarız. Bu dörtgen yirmi beşe eşit olur. QT doğru parçası, QD doğru parçasına BD doğru parçası da NQ’ye eşittir. Demek ki TN doğru parçası BQ ve NA doğru parçalarının her birine eşittir. Şimdi, QT’ye eşit olan KT doğru parçası üzerinde NQ doğru parçasına eşit bir kısım ayıralım. Bu doğru parçası KL olsun. Ayrıca, LM doğru parçasını çizelim. KL’nin geri kalan kısmı olan LT böylece TN doğru parçasına eşit olur. KM üzerine çizili dörtgen de NB üzerindeki dörtgene eşit olur. LN dörtgeni ise eşkenardır. Öte yandan, HQ ve QA dörtgenleri, birlikte, yirmi bir değerindendir ve NB dörtgeni KM dörtgenine eşittir. HQ dörtgeni ise aralarında müşterektir. Bu sebeple, KM ve HQ dörtgenlerinin toplamı yirmi bire eşittir. Diğer taraftan, KQ dörtgeni yirmi beşe eşittir. Aralarındaki farka eşit olan LN dörtgeni, böylece, dörde eşit olur. Bu dörtgenin her bir kenarı onun köküdür. Bundan dolayı TN doğru parçası ikiye eşittir. FakatTN doğru parçası QB doğru parçasına eşitti. Şu halde, QB doğru parçası ikiye eşittir. QB doğru parçasının değeri olan ikiyi QD doğru parçasının değeri olan beşten çıkardığımızda, kare miktarın kökü olan BD doğru parçasının değerini elde ederiz ki, bu da üçe eşittir. Ve işte ilgili şeklin görünüşü.

Diğer taraftan ZD doğru parçasının orta noktası BD doğru parçası üzerinde olursa, o zaman QT doğru parçası QD doğru parçasından kısadır ve bundan dolayı AD dörtgenini kesmez. Çünkü TQ doğru parçası QD doğru parçasına, AB de BD doğru parçasına eşittir. BD doğru parçası ise QD doğru parçasından büyüktür. Böylece AB doğru parçasının TQ doğru parçasından uzun olduğu görülmektedir. Şu halde Q noktasının BD doğru parçası üzerinden bulunduğunu kabul edelim. Şekilde QT doğru parçasını çizip KQ dörtgenini tamamlayalım. Bu dörtgenin yüz ölçüsü yirmi beşe eşittir. Ayrıca, NB doğru parçası QD doğru parçasıyla aynı uzunluktadır. Demek ki AN doğru parçası BQ doğru parçasına eşittir. Diğer taraftan, BQ doğru parçası NT doğru parçasına eşittir. Böylece, NT doğru parçası AN doğru parçasına, KT doğru parçası da TQ doğru parçasına eşit olur. TQ doğru parçası üzerinde KN’ye eşit bir kısım ayıralım. Yani TL doğru parçasını işaretleyelim ve LM doğru parçasını çizelim. Böylece, geriye, TN doğru parçasına eşit olan LQ doğru parçası kalır. Burada LM doğru parçası da TN’ye eşittir. Buradan, MT üzerine çizili dörtgenin HN üzerine çizili dörtgene eşit olduğu görülür. MQ üzerine çizilmiş olan dörtgen de eşkenardır. Öte yandan, HN ve NZ dörtgenleri NZ ve MT dörtgenlerine eşittir. Şu halde, NZ ve MT dörtgenleri, bir arada, yirmi bire eşittir. KQ dörtgeni ise yirmi beşe eşitti. Demek ki, bu KQ dörtgeninden, yirmi bire eşit olan NZ ve MT dörtgenlerini çıkarırsak, geriye MQ dörtgeninin dörde eşit olduğu görülür. Bu MQ dörtgeni eşkenar olduğundan kenarlarından her biri onun köküdür. Şu halde, BQ doğru parçası ikiye eşittir. BQ doğru parçasını, beşe eşit olan QD doğru parçasına ilave edince yedi elde edilir ve bu yedi değeri kare miktarın köküdür. Böylece, kare miktar kırk dokuza eşit olmuş oluyor. Buna yirmi bir ilave edince de sonuç yetmiş olur.

Bu iki şık arasında kalan eşitlik haline gelince, bu durumun mevcut olması için kare miktar kökünün kök katsayısının yarısına eşit olması gerekir. Bu şart ise, ancak kök katsayısının yarısı kendi kendisiyle çarpıldıkta elde edilen sonuç kare miktarla aynı tarafta olan sabit miktara eşit olunca, yani bu şartı tatmin eden misallerde gerçekleşebilir. Meselâ, bir kare miktarla yirmi beşin on köke, veya bir kare miktarla dokuzun altı köke eşit olduğu söylendikte, ve umumiyetle buna benzer misallerde, durum böyledir. Bu şartlar mevcut olunca, yani durumun böyle olduğu görüldükte, kare miktarı eşkenar ve dik açılı bir dörtgenin yüzeyi ile temsil ederiz. Bu dörtgen AD dörtgeni olsun. Buna HB yüzeyini ilave eder ve bu sathın yüz ölçüsünü yirmi beşe eşit olarak alırız. Böylece, HD yüzeyi bir kare miktarla yirmi beşin toplamına eşit olur. Bu ise on köke eşittir. Demek ki HC ve DZ doğru parçalarının her biri on’a eşit olacaktır. ZD doğru parçasını B noktasında iki eşit kısma böldüğümüzde ve bu bölme noktasından uzunluğu beşe, yani ZD’nin yarı parçalarından her birine eşit olan bir dikme çıkarıp bunun üzerine bir kare çizdiğimizde, bu karenin amlanı yirmi beşe eşit olur. Bu dikme AB doğru parçasıdır ve HZ doğru parçasına eşittir. Karesi ise HB yüzeyidir. Çünkü yirmi beşe eşittir. Demek ki, kökler sayısının yarısı kare miktarın köküne eşittir. İlgili şeklin görünüşü de şöyle olacaktır.

Kare miktarla birlikte olan (yani, eşitliğin aynı tarafında) adedî miktar, kök sayısı (katsayısı) yarısının kendi kendisiyle çarpımından büyük olunca, bu tip denklemlerde imkânsızlık mantıkî zorunluluğu mevcuttur. Örneğin, bir kare miktarla otuz dirhem on köke eşittir dediğimizde, kare miktarı eşkenar bir dörtgen yüzeyi ile temsil ederiz. Bu dörtgen AD dörtgeni olsun. Buna dörtgen şeklindeki HB yüzeyini ilave ederiz ve bu yüzeyi otuza eşit olarak alırız. Böylece, HD yüzeyi on köke eşittir. HC ve ZD doğru parçalarından her birinin değeri de ondur. Bundan sonra da ZD doğru parçasını Q noktasında iki eşit kısma böleriz. Daha önce yapıldığı üzere, ilkin Q noktasının ZB doğru parçası üzerinde bulunması halini göz önünde bulundurulalım. QT doğru parçasını, önceki misallerde olduğu gibi, ZD doğrusuna dik olarak, ve ayrıca, ZQ ile QD doğru parçalarından her birine eşit olmak üzere çizeriz. QT doğru parçası böylece beşe eşit olur. Bundan sonra KQ dörtgenini tamamlarız. Bu da yirmi beşe eşit olur. TQ doğru parçası DQ doğru parçasına eşit olduğundan, TL doğru parçası da LA doğru parçasına eşittir. LQ doğru parçası AC doğru parçasına ve KT doğru parçası TQ doğru parçasına eşit olduğu için de KL dörtgeni LB dörtgeninden büyüktür. Şu halde, HQ dörtgeni bunların ikisine de ilave edilince, KL ve HQ dörtgenlerinin toplamı HQ ve QA dörtgenlerinin toplamından büyük olur. Halbuki, HQ ve QA dörtgenleri toplamı otuza, KL ve HQ dörtgenleri toplamı ise yirmi beşe eşitti. Böyle olunca da yirmi beş otuzdan büyük olmuş olacaktır. Bu ise mânasız ve imkânsızdır. Böyle bir durumda imkânsızlık zorunluluğu böylece belirlenmiş oluyor.

Aynı suretle, Q noktasının BD doğru parçası üzerinde bulunduğunu farz edelim. QT doğru parçasını, ZD doğru parçasına dik ve ZQ ile QD doğru parçalarının her birine eşit olmak üzere çizelim. Bundan sonra KQ dörtgenini tamamlarız. Bunun yüz ölçüsü yirmi beş olur. Burada mevcut bulunan şartlar LQ dörtgeninin HL dörtgeninden büyük olduğunu göstermektir. KB dörtgenini bu iki dörtgene ilâve edilmiş durumda farz edince de, KB ile BT dörtgenleri toplamının KB ve KA dörtgenleri toplamından büyük olduğu görülür. Halbuki, diğer taraftan, KB ile KA dörtgenleri toplamı otuza ve KB ile BT dörtgenleri toplamı yirmi beşe eşitti. Böylece, yirmi beşin otuzdan büyük olması gerekmektedir ki, bu da mânasız ve imkânsızdır.

Belli bir sayı ile kökler toplamının bir kare miktara eşitliği hali.47 Meselâ dört kök ile beş dirhemin bir kare miktara eşit olduğunu söylediğimizde, kare miktarı eşkenar ve dik açılı bir dörtgen yüzeyiyle temsil ederiz. Bu dörtgen AD yüzeyi olsun. Bu yüzeyin kenarlarından her biri kare miktarın köküdür. Bu dörtgenin iç kısmında, gerek AB’ye ve gerekse CD’ye paralel olan HZ doğru parçasını çizer, AZ dörtgeninin alanını beşe eşit olarak alırız. Geri kalan HD yüzeyi böylece dört köke eşit olur. CD doğru parçası kare miktarın kökü olduğundan, HD dörtgeni de dört köke eşit olunca, HC doğru parçası dörde eşit olur. HC doğru parçasını Q noktasında iki eşit kısma böler, QT doğru parçasını, HC’ye dik ve HQ ile QC doğru parçalarının her birine eşit olmak üzere çizeriz. QT doğru parçasının uzunluğu böylece ikiye eşit olur. Bundan sonra KQ dörtgenini tamamlarız. Bu dörtgenin yüz ölçüsü dörde eşittir. Bundan sonra da QT doğru parçasını L noktasına kadar uzatırız. TL doğru parçasının uzunluğu, AH ve BZ doğru parçalarının her birine eşit olarak alınır. Ayrıca, LM doğru parçasını da QL doğrusuna dik olarak çizeriz. Böylece, AQ doğru parçası MA doğru parçasına eşit olur. QC doğru parçası da MB’ye eşit olur. Diğer taraftan, QC doğru parçası aynı zamanda LN doğru parçasına eşittir. Şu halde, LN doğru parçası MB doğru parçasına eşittir. KN ile TL doğru parçalarından her biri de MN ile BZ doğru parçalarından her birine eşittir. Böyle olunca da, MZ dörtgeni KL dörtgenine eşit olur. Çizimimize göre, AN dörtgeni bu dörtgenlerin her ikisine de bitişiktir. AN ile BN dörtgenleri toplamı, böylece AN ile NT dörtgenleri toplamına eşittir. AN ile NB dörtgenleri toplamının beşe eşit olduğunu bilmekteyiz. Demek ki, AN ile NT dörtgenleri toplamı da beşe eşittir. Diğer taraftan, KQ dörtgeninin alanı dört değerindedir. Şu halde, AL dörtgeninin yüzeyi dokuza eşittir. Bu dörtgenin kenarlarından her biri onun köküdür. Böylece, AQ doğru parçasının uzunluğu üç değerini taşımaktadır. QC doğru parçası ikiye eşitti. Demek ki AC doğru parçasının bütününün uzunluğu beşe eşittir. Bu da aranan kare miktarının kökünün değeridir. İlgili şeklin görünüşü de şu şekildedir.

Abdülhamid ibn Vâsi el Cîlî’nin Kitab el Cebr ve’l Mukabele’sinden alınma Katışık Denklemlerdeki Mantıkî Zorunluluklar sona erdi. Allah’ın rahmeti onun üzerinde olsun.

İbn Türk, Abdülhamid 1962. Katışık Denklemlerde Mantıkî Zaruretler, Aydın Sayılı, “Abdülhamid İbn Türk’ün Katışık Denklemlerde Mantıkî Zaruretler Adlı Yazısı ve Zamanın Cebri”, Ankara, Türk Tarih Kurumu Basımevi.